GGX Spherical Area Light [ Bingo ]

GGX Spherical Area Light

Introduction

离线渲染中，对于面积光的渲染也有较多研究，多为在面积光源形状上做采样，配合BRDF进行MIS，但这在实时渲染中要想收敛则采样数过多开销过大。

Eric Heitz $^{[5]}$ 曾对多边形的实时面积光渲染做出较好的模拟，对球面积光的近似多采用Karis $^{[2]}$ 在13年发布的Representative Point Method，其实现较为高效又兼容GGX微表面被广泛采纳。Decima在Siggraph 2017 $^{[1]}$ 上又对其进行了改进，使其在边缘处拖尾更接近Reference(如图)。

但无论是UE4或是Decima都无法保证Physically Based，也就是不满足Energy Conservation，仅能实现较为近似的效果。因此这里不对Normalization Factor做过多记录。

Decima: We’re currently experimenting with alternative formulas for
normalization to better match our reference. This, however, is still in flux.

UnrealEngine: To derive an approximate normalization for the
representative point operation we divide the new widened normalization factor by the original

Representative Point Method

Unreal Engine 4

Representative Point的核心思想就是使用一个点来模拟一个球面光的效果。在GGX BRDF计算中，光照方向不再固定，而是来自于球面，因此关键是如何确定光照方向。

// no more punctual light direction
float3 L = normalize(lightPoint - hitPoint);
// but get L from spherical area light
float3 L = getLightDirection(normalize(lightPoint - hitPoint), ...);

需要注意的是，此方法对平行光同样有效(平行光本为点光无限远的近似)，仅需将原始L改为平行光方向即可。

Karis提出的解决上述问题的核心思想是，当反射光向量R与球相交，则此时R就是光照方向向量。R处于球外时，若为离线渲染中，则此时应在球面上大量采样来求解对表面BRDF的贡献。由于为实时渲染，思路就是选取对表面光照贡献最大的点作为光照方向。此时选择球面上离反射向量R最近的点作为光照来源(如图)。

float3 getLightDirection(float3 L, float3 R, float radius)
{
	float3 centerToRay = R * dot(L, R) - L;
	// ray intersected / not intersected both combined(saturate)
	float3 closestPoint = L + centerToRay * saturate(radius / length(centerToRay));
	// the length of closestPoint could be used for normalization
	return normalize(closestPoint);
}

上述UE4实现中，已经包含了反射光与球相交/不想交的情况。因此仅需对GGX的光照来源进行改变即可快速模拟球面光。

UE4中的近似Normalization Factor选择如下，由于仅为近似解，因此PDF中也未包含详细推导

\alpha=roughness^2

\alpha' = saturate(\alpha+\frac{sourceRadius}{3*distance})

normalizationFactor=(\frac{\alpha}{\alpha'})^2

Decima

Decima的近似实现也沿用了UE4的方法，变化的是选取光照来源位置不再是反射光线最近的点，而是能使得 $N \cdot H$ 最大的点(GGX高光分布中N与H越接近，或者说R与L越接近则起光照在BRDF上的贡献最大，可自行查看Disney BRDF Explorer中GGX的分布)。

Decima采取如下方式选取光照方向

T=\frac{R - (L \cdot R) * L}{\| R - (L \cdot R) * L \|}

L = \sqrt{1 - s^2}*L_c+s*T

这里有一处微调，不再是向R投影，而是投影至Lc(如图)

取 $B, L_c, T$ 为一坐标系，在此圆盘上找到一个 $\phi$ ，使得 $N \cdot H$ 达到最大的点。

B=T \times L_c

L=\sqrt{1 - s^2}L_c+s*(\cos{\phi} * T + \sin{\phi} * B)

由于 $tan{\frac{\phi}{2}}$ 可以万能表示 $\sin{\phi}$ ， $\cos{\phi}$ ，且在区间内单调递增，因此将求取 $\phi$ 转为求 $x=tan{\frac{\phi}{2}}$ 。且令 $f(x)=(N \cdot H)^2$ (选此因为分式上含根号，且可直接将 $(N \cdot H)^2$ 用于GGX的NDF计算上)

f(x)=\frac{ax^4+bx^3+cx^2+dx^2+e}{gx^4+hx^3+ix^2+jx^2+k}, x=tan{\frac{\phi}{2}}

此处推导过于繁琐，因此未给出具体展开式

取 $x_0=0,f(x_0)=Karis's (N\cdot H)^2$

由于牛顿迭代可求函数根，对 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ 做多次迭代则可收敛至根值。此时要求 $f(x)$ 最大值，因此对 $x=f(x)$ 进行牛顿迭代，则根值处为 $f'(x)=0$ 求得最大值。取 $f(x_1)$ 为最终结果。

x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}

float GetNoHSquared(float radiusTan, float NdotL, float NdotV, float VdotL)
{
	// See presentation for more deatil
}

void EvaluateNdotH(float radius, float roughness, float lightCenterDistance, float NdotL,float NdotV, float LdotV, inout float NdotH)
{
	float radiusTan = max(0.001, radius / lightCenterDistance - roughness * 0.25);
    NdotH = sqrt(GetNoHSquared(radiusTan, NdotL, NdotV, LdotV));
}

void EvaluateNormalizationFactor(float roughness, float LdotH, float radius)
{
	// Decima: Still in flux
	float roughnessSquaredLdotH = roughness * roughness * (LdotH + 0.001);
    normalization = roughnessSquaredLdotH / (roughnessSquaredLdotH + 0.25 * radius * (2.0 * roughness + radius));
}

这里使用时，需格外注意提供给GGX计算的，除更改后的NdotH外，NdotL, NdotV, VdotL, LdotH中的L与H皆为初始 $L=normalize(point-hitPoint)$ 方向，尽管这样会在Point垂直于Normal时失效，但仍然能取得较好的效果

ScreenShots

下图为Unity 2018中实现对比结果，可明显看见接近边缘处的拖尾更接近Reference，也就可以实现地平线中夕阳的拖尾效果。